回归分析

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在实际生活中，某种现象的发生或某种结果的得出往往与其他某个或某些因素有关，但这种关系又不是确定的，只是从数据上可以看出有“有关”的趋势。回归分析就是用来研究具有这种特征的变量之间的相关关系的。本节介绍最简单的一元一次回归。[大谦Excel，dqexcel点com]

简单线性回归

为研究某一化学反应过程中，温度x对产品得率y的影响，测得数据如图4-35工作表A-B列所示。试对该数据进行一元一次线性回归分析。

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图4-35 简单线性回归

D2单元格中在Python模式下在公式栏中输入下面的代码：

code.python 
from statsmodels.formula.api import ols
data=xl("A1:B11",headers=True)
model=ols('y~x',data).fit()
model.params

单击Ctrl+Enter键，返回一个Series对象。展开该对象的内容如图4-35工作表中单元格区域E2:F2所示。单元格F2和F3中显示的是一元一次方程y=a*x+b中的待定系数b和a的值，其中，a是一次项的系数，b是截距。即根据给定数据得到的一元一次方程模型为：y=0.4830*x-2.7394。

代码中model是用ols函数建模并拟合后得到的模型，model.params返回模型的待定系数。

D5单元格中在Python模式下在公式栏中输入下面的代码：

code.python 
model.conf_int()

单击Ctrl+Enter键，返回一个DataFrame对象，以Excel值的方式显示，如图4-35所示。单元格区域E5:F6中显示的是待定系数95%置信区间的下界和上界。

线性方程及其系数的显著性检验

通过回归分析得到线性方程模型后，事情还远没结束。为了确保模型有意义，首先需要对模型进行显著性检验，检验的方法有F检验和t检验。F检验检验整个模型是否有意义，零假设为无意义；t检验对模型的每个待定系数进行检验，检验该待定系数是否等于0，零假设为等于0。

D8单元格中在Python模式下在公式栏中输入下面的代码，查看F检验的结果。

code.python 
[model.fvalue,model.f_pvalue]

单击Ctrl+Enter键，返回一个列表对象，以字符串的方式显示列表内容，如图4-35所示。列表中第1个元素表示F统计量，第2个元素表示显著性概率，即p值。p值等于5.35e-11，小于0.05，所以可以在0.05水平上拒绝零假设，认为模型有意义。

D9单元格中在Python模式下在公式栏中输入下面的代码，查看t检验的结果。

code.python 
model.pvalues

单击Ctrl+Enter键，返回一个Series对象，展开该对象的内容，如图4-35所示。Series对象的值为待定系数对应的t检验的p值。x对应的系数的p值为5.3525e-11，小于0.05，所以可以在0.05水平上拒绝零假设，认为x的系数不为0，模型有意义。

残差分析

残差指的是每个数据点处计算值和实测值之间的偏差。回归分析完成以后，需要对残差进行检验。残差应满足正态分布、方差齐性、独立性等要求。

D12单元格中在Python模式下在公式栏中输入下面的代码：

code.python 
res=model.resid

单击Ctrl+Enter键，返回一个Series对象res。展开该对象的内容如图4-35工作表中单元格区域E12:E21所示。可以直接使用4.2.3和4.2.4小节介绍的方法对残差进行正态分布检验和方差齐性检验。

也可以通过绘残差图进行探查。残差图的横坐标为根据回归模型得到的y的预测值，纵坐标为残差。F12单元格中在Python模式下在公式栏中输入下面的代码，获取y的预测值：

code.python 
y2=model.fittedvalues

单击Ctrl+Enter键，返回一个Series对象res。展开该对象的内容如图4-35工作表中单元格区域G12:G21所示。

然后绘制残差图。H12单元格中在Python模式下在公式栏中输入下面的代码：

code.python 
plt.scatter(y2,res)
plt.ylim(-2,2)
plt.xticks(fontsize=16)
plt.yticks(fontsize=16)
plt.xlabel('y2',fontsize=16)
plt.ylabel('Residuals',fontsize=16)

单击Ctrl+Enter键，返回一个Image对象。显示该对象的图像，合并单元格区域I12:K19，显示残差图如图4-35所示。当残差图中的散点均匀地落在绘图区，不呈现任何模式时，认为残差满足上面几个要求。注意，各散点落在y轴取值-2到2的范围内。

拟合优度评价

用相关系数的平方，即决定系数评价回归模型的拟合好坏程度。该指标反映因变量的全部变异能通过回归关系被自变量解释的比例。指标的值界于0和1之间，值越接近于1，说明模型拟合得越好。值为1时，说明自变量和因变量之间是函数关系；值为0时，说明自变量和因变量之间没有关系。

I12单元格中在Python模式下在公式栏中输入下面的代码：

code.python 
model.rsquared

单击Ctrl+Enter键，返回决定系数0.9963。该值接近于1，说明回归模型拟合得很好。